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Año 17, Vol. 34, No. 2, Julio-Diciembre, 2024
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Recibido: 24/07/2024 - Aprobado: 24/01/2025
Blandón-Chavarría, Z. J., Ortez-Peralta, A. J., y Herrera-Castrillo, C. J. (). Fundamentos y Aplicaciones de
las Bases de Gröbner en la Resolución de Ecuaciones Polinomiales. Ciencia e Interculturalidad, 34(),
–. https://doi.org/./rci.vi.
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https://doi.org/10.5377/rci.v34i2.20537
Fundamentos y Aplicaciones de las Bases de Gröbner
en la Resolución de Ecuaciones Polinomiales
Fundamentals and Applications of Gröbner Bases in Solving Polynomial Equations
Zayda Julissa Blandón-Chavarría
1
Adriana Julieth Ortez-Peralta
Clior Jerry Herrera-Castrillo
Resumen
Este artículo de revisión examina investigaciones sobre las bases de Gröbner aplicadas
a sistemas de ecuaciones polinomiales, con el objetivo de presentar una revisión
exhaustiva de sus aplicaciones en la resolución de estos sistemas. El estudio, basado
en un enfoque cualitativo, abarca 24 citas seleccionadas de 30 investigaciones
encontradas y utiliza Google Académico para la búsqueda, abordando temas como
las bases de Gröbner, aprendizaje matemático, pensamiento computacional, álgebra,
resolución de ecuaciones polinomiales, tecnología y educación matemática. Las nuevas
tecnologías educativas en la enseñanza de las matemáticas van más allá de una simple
computadora; sin embargo, esta sigue siendo una herramienta fundamental en el
álgebra computacional. Las bases de Gröbner facilitan la resolución de ecuaciones
polinomiales y son una herramienta esencial en álgebra informática y otras áreas,
permitiendo resolver diversas dicultades algebraicas. Este artículo proporciona una
visión sobre las bases de Gröbner aplicadas a sistemas de ecuaciones polinomiales,
destacando aspectos teóricos y educativos clave para la comunidad académica.
1 Profesora de Educación Media con mención en Matemáticas, Estudiante de la Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua,
Managua (UNAN-Managua), Centro Universitario Regional Estelí (CUR-Estelí). Email: zaydablandon2020@gmail.com, Orcid:
https://orcid.org/0009-0000-2589-1944
High School Teacher with a major in Mathematics, Student at the National Autonomous University of Nicaragua, Managua (UNAN-
Managua), Estelí Regional University Center (CUR-Estelí).
2 Profesora de Educación Media con mención en Matemáticas, Estudiante de la Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua,
Managua (UNAN-Managua), Centro Universitario Regional Estelí (CUR-Estelí). Email: adrianaortez824@gmail.com, Orcid: https://
orcid.org/0009-0008-7060-4260
High School Teacher with a major in Mathematics, Student at the National Autonomous University of Nicaragua, Managua (UNAN-
Managua), Estelí Regional University Center (CUR-Estelí).
3 Doctor en Matemática Aplicada, Responsable de Investigación e Innovación del Departamento de Ciencias de la Educación y
Humanidades de la Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua, Managua (UNAN-Managua), Centro Universitario Regional
Estelí (CUR-Estelí). Email: clior.herrera@unan.edu.ni, Orcid: https://orcid.org/0000-0002-7663-2499
PhD in Applied Mathematics, Head of Research and Innovation at the Department of Educational Sciences and Humanities at the
National Autonomous University of Nicaragua, Managua (UNAN-Managua), Estelí Regional University Center (CUR-Estelí).
EDUCACIÓN
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CIENCIA E INTERCULTURALIDAD, Volumen 34, Año 17, No. 2, Julio-Diciembre, 2024.
Palabras clave: Álgebra, aprendizaje, bases de Gröbner, ecuaciones polinomiales,
pensamiento computacional
Abstract
is review article examines research on Gröbner bases applied to systems of polynomial
equations, with the aim of presenting a comprehensive review of their applications in
solving these systems. e study, based on a qualitative approach, covers 24 citations
selected from 30 research found and uses Google Scholar for the search, addressing
topics such as Gröbner bases, mathematical learning, computational thinking, algebra,
polynomial equation solving, technology and mathematics education. New educational
technologies in mathematics education go beyond a simple computer; however, the
computer remains a fundamental tool in computer algebra. Gröbner bases facilitate
the solution of polynomial equations and are an essential tool in computer algebra
and other areas, allowing to solve various algebraic diculties. is article provides an
overview of Gröbner bases applied to systems of polynomial equations, highlighting
key theoretical and educational aspects for the academic community.
Keywords: Algebra, learning, Gröbner Bases, polynomial equations,
computational thinking
I. INTRODUCCIÓN
La investigación en Educación Matemática es un campo en continuo cambio y
progreso. Este artículo se basa más que nada en una investigación sobre las bases
de Gröbner aplicadas en la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales que
se pueden emplear para la enseñanza de las matemáticas porque aún se siguen
disponiendo de un conjunto de estrategias metodológicas para abordar su objeto de
estudio.
Según López Aguilar y López Sánchez (2016) el impacto que ha tenido la
computadora en la sociedad ha llevado a una reexión en torno a su uso en el salón
de clase. Antiguamente se consideraba que la enseñanza de las matemáticas era un
arte y, como tal, difícilmente susceptible de ser analizada, controlada y sometida a
reglas. Se suponía que el aprendizaje de los alumnos dependía sólo del grado en que
el profesor dominase dicho arte y, en cierto sentido, de la voluntad y la capacidad de
los propios alumnos para dejarse moldear por el artista. El aprendizaje es considerado
como un proceso psico-cognitivo fuertemente inuenciado por factores motivacionales
y actitudinales del alumno-aprendiz.
A pesar de su relevancia en el álgebra computacional y otras áreas, las bases de
Gröbner son una herramienta subestimada y poco investigada, especialmente en el
ámbito hispanohablante. Existe una clara necesidad de abordar este tema debido a
Fundamentos y Aplicaciones de las Bases de Gröbner en la Resolución de Ecuaciones Polinomiales
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Volumen 34, Año 17, No. 2, Julio-Diciembre, 2024. CIENCIA E INTERCULTURALIDAD
las múltiples aplicaciones de las bases de Gröbner en la resolución de problemas de
geometría algebraica computacional moderna y la escasa información disponible en
los buscadores, lo que diculta su estudio y comprensión.
El presente artículo tiene como objetivo brindar una introducción básica y accesible
a las bases de Gröbner, dirigida principalmente a estudiantes de las ciencias Físico-
Matemáticas (Herrera-Castrillo, 2023a). La nalidad es contribuir a la difusión de
esta rama del álgebra que simplica tanto la teoría como la práctica en la resolución
de sistemas de ecuaciones polinomiales.
Es importante resaltar que la aplicación de las bases de Gröbner va mucho más
allá de la resolución de sistemas de ecuaciones, pero en este artículo se abordará el
tema desde esta perspectiva. Además, se espera despertar la curiosidad de los lectores
por acercarse al Álgebra Computacional, de manera que con la ayuda de software
especializado, la aplicación de las bases de Gröbner sea más sencilla.
Cabe mencionar que el Álgebra encierra una belleza que no siempre se aprecia
a simple vista. Sin embargo, existe una problemática en torno a la escasez de
información e investigación sobre este tema, particularmente en el idioma español.
Esta situación diculta la familiarización de los lectores con el tema, ya que no es un
tópico comúnmente abordado, lo que genera un vacío de conocimiento al respecto.
La investigación sobre las bases de Gröbner y su aplicación a sistemas de ecuaciones
polinomiales es sumamente relevante y útil en diversos campos de las matemáticas y
la computación. Algunos de los principales benecios y aplicaciones son:
•
Resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales: Las bases de Gröbner
proporcionan un método sistemático para encontrar todas las soluciones,
incluyendo las complejas y múltiples (Illana Martos, 2005; López-López et
al., 2023; Acevedo Montenegro et al., 2024).
•
Geometría algebraica: Las bases de Gröbner son fundamentales para estudiar
las propiedades de variedades algebraicas, como la intersección de curvas y
supercies (Recio, 2008; Salinas Encimas, 2020).
• Álgebra computacional: Permiten la manipulación y simplicación eciente
de expresiones algebraicas.
Estas aplicaciones tienen un amplio impacto en áreas como matemáticas puras,
computación simbólica, criptografía, entre otras, al resolver problemas complejos de
manera estructurada y eciente.
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CIENCIA E INTERCULTURALIDAD, Volumen 34, Año 17, No. 2, Julio-Diciembre, 2024.
Además, la investigación en este campo tiene una importante relevancia social
al contribuir al desarrollo de herramientas matemáticas avanzadas que benecian a
estudiantes, educadores e investigadores. Permite enriquecer los programas académicos,
preparar a futuras generaciones con sólidas habilidades técnicas y analíticas, y fomentar
el progreso en la comprensión de estructuras matemáticas fundamentales (Infante
et al., 2010).
A medida que la investigación sobre las bases de Gröbner avanza, se irán abordando
los vacíos de conocimiento existentes y generando nuevos conocimientos y capacidades
que puedan tener un impacto signicativo en diversas disciplinas. Es importante seguir
un enfoque metodológico riguroso que incluya objetivos, preguntas de investigación
y técnicas adecuadas de recolección y análisis de datos.
En el campo de la carrera de Matemática, un artículo que aborde el tema de las
Bases de Gröbner sería un valioso aporte para las próximas generaciones. Les serviría
como base para futuras investigaciones, fortalecería sus conocimientos y les facilitaría
el proceso al estar en español, lo cual es benecioso para su desempeño académico y
desarrollo profesional.
El artículo aporta conocimientos teóricos signicativos al ser uno de los pocos
escritos en español que aborda el tema de las Bases de Gröbner en el desarrollo de
habilidades en Álgebra Computacional. Los antecedentes revisados abordan al menos
una de las variables de interés, siendo las Bases de Gröbner un eje central en la teoría
del Álgebra Computacional (Moran, 2019). Dichas bases han permitido investigar
diversas ramas de las matemáticas, como Álgebra Conmutativa, Geometría Algebraica,
Teoría de Grafos, Teoría de Códigos y Criptografía (Herrera-Castrillo, 2023b).
Conforme Alcántara García (2023), las Bases de Gröbner son una herramienta
esencial en la geometría algebraica computacional moderna, pues permiten trabajar
algorítmicamente con ideales de polinomios en varias variables. Sin embargo, su
complejidad computacional limita sus aplicaciones prácticas. Según Gárate Cahuantzi
(2023), el propósito de las Bases de Gröbner es resolver sistemas de ecuaciones
polinomiales para encontrar soluciones lo más exactas posibles, sin importar el grado
de complejidad del sistema.
El estudio de las Bases de Gröbner es relativamente nuevo, data de aproximadamente
1966, cuando Bruno Buchberger encontró una base del espacio vectorial cociente para
el anillo de clases, módulo un ideal de polinomios cero dimensional (Garrido Cruces,
2021). Según Ochoviet (2007), el conocimiento de estas bases brinda información
importante acerca de los posibles obstáculos y dicultades que pueden enfrentar los
estudiantes al abordar su estudio.
Fundamentos y Aplicaciones de las Bases de Gröbner en la Resolución de Ecuaciones Polinomiales
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Volumen 34, Año 17, No. 2, Julio-Diciembre, 2024. CIENCIA E INTERCULTURALIDAD
Preguntas de Investigación
1.
¿Cuáles son las aplicaciones de las bases de Gröbner en la resolución de
sistemas de ecuaciones polinomiales?
2.
¿Cómo pueden las bases de Gröbner facilitar la enseñanza de álgebra y
geometría en la educación matemática?
3. ¿Qué desafíos se enfrentan al incorporar las bases de Gröbner en el currículo
educativo, especialmente en el contexto hispanohablante?
Objetivos del artículo
El objetivo principal de este trabajo es presentar una revisión exhaustiva de
las aplicaciones de las bases de Gröbner en la resolución de sistemas de ecuaciones
polinomiales. Especícamente, el estudio se propone:
• Analizar investigaciones previas sobre el tema para sintetizar los principales
hallazgos y metodologías empleadas.
• Explorar el impacto de las nuevas tecnologías educativas en la enseñanza de
las matemáticas, destacando el papel fundamental de las computadoras en
el álgebra computacional.
•
Proveer una visión integral sobre cómo las bases de Gröbner pueden ser
utilizadas como una herramienta clave en la educación matemática y en la
resolución de diversas dicultades algebraicas.
El artículo introduce de manera accesible las bases de Gröbner para estudiantes
de ciencias físico-matemáticas, con el objetivo de difundir esta parte del álgebra
que simplica la teoría y práctica de resolver sistemas de ecuaciones polinomiales,
además de despertar interés en el álgebra computacional y fomentar el uso de software
especializado. Sin embargo, la escasez de investigaciones y recursos en español sobre
este tema diculta su comprensión y enseñanza, representando un desafío para su
adopción en la comunidad hispanohablante.
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II. METODOLOGÍA
De acuerdo con Vivar et al. (2013), la investigación cualitativa "tiende a enfatizar
los aspectos dinámicos, holísticos e individuales de la experiencia humana donde
interactúan las versiones y opiniones de distintos actores, capturando los aspectos
en su totalidad dentro del contexto de quienes lo están experimentando". Además,
mencionan que el propósito de la investigación cualitativa no es la predicción ni el
control, sino más bien la descripción, y que es importante cuando se conoce poco
sobre un fenómeno o cuando las teorías presentes necesitan ser revisadas.
En este sentido, para esta investigación cualitativa se realizó una búsqueda de
información, revisión de textos y recolección de datos que permitieron localizar
documentos académicos relevantes, como artículos, tesis y libros de fuentes conables
basadas en las investigaciones de otros actores relacionados con el tema. Los documentos
encontrados provienen de diversas editoriales universitarias, profesionales y otras
organizaciones académicas, y abarcan diferentes años.
− Búsqueda bibliográca
La búsqueda bibliográca para este estudio se realizó utilizando la base de datos de
Google Académico, concentrándose en estudios publicados sobre las bases de Gröbner
y su aplicación en la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales. Se emplearon
palabras clave especícas, como "bases de Gröbner", "resolución de ecuaciones
polinomiales", "álgebra computacional", "educación matemática" y "pensamiento
computacional", con el n de identicar la literatura más relevante para el tema.
− Criterios de selección
Para garantizar la relevancia y calidad de los estudios incluidos en esta revisión,
se aplicaron los siguientes criterios de selección:
Tabla 1
Criterios de inclusión, exclusión y eliminación
Inclusión Exclusión Eliminación
Investigaciones que den un apoyo
teórico sobre la temática.
Investigaciones donde no se
encuentren datos de autores,
año de publicación, lugar o
revista de publicación.
Investigaciones que
estén en sitios web
de poca delidad.
Indagación en las que se vea
una perspectiva de enseñanza
algebraica.
Investigación donde la
información no es inmensamente
relacionada a la temática.
Fundamentos y Aplicaciones de las Bases de Gröbner en la Resolución de Ecuaciones Polinomiales
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Volumen 34, Año 17, No. 2, Julio-Diciembre, 2024. CIENCIA E INTERCULTURALIDAD
En toda investigación es necesario llevar a cabo la recolección de datos, este
es un paso fundamental para tener éxito en la obtención de resultados. El llevar
adecuadamente la recolección de datos y la escogencia del método de recolección de
datos es una tarea que todo investigador debe conocer y debe tener mucha práctica en
ella. Ya que recopilación de datos es considerada como la medición, es una precondición
para obtener el conocimiento cientíco. El instrumento de reunir datos está orientado
a crear las condiciones para la medición. Los datos son conceptos que expresan una
abstracción del mundo real, de lo sensorial, susceptible de ser percibido por los
sentidos de manera directa o indirecta, donde todo lo empírico es medible (Hernández
Mendoza y Duana Avila, 2020).
La ejecución del estudio se conduce a partir de ciertos niveles que permiten aplicar
su metodología, las cuales son las siguientes:
Organización de la temática sistema de ecuaciones polinomiales.
El análisis de fuentes que abordan la similitud del contenido relacionado al
sistema de ecuaciones polinomiales usando las bases de Gröbner.
Investigación de las técnicas y procesos utilizados para el estudio de las bases
de Gröbner.
Conocer sobre el uso del álgebra computacional para encontrar solución al
sistema de ecuaciones polinomiales.
− Recuperación de la información. Fuentes documentales
En la elaboración de este artículo, se tomó en cuenta los protocolos de investigación.
Según Arias Gómez et al. (2016), "la población de estudio es un conjunto de casos
denido, limitado, accesible, que formará el referente para la elección de la muestra".
En este caso, la población corresponde a 30 citas bibliográcas que se diferencian
por su nivel de similitud en materia, forma de aclaración, propósito o campo de las
matemáticas.
Asimismo, Arias Gómez et al. (2016) mencionan que "para cualquier investigación
se incluyen muestras de la población o subgrupos por algunas razones como por
ejemplo ahorrar tiempo, recursos y en un sentido estricto y ético no es necesario
estudiar al total la población cuando con una porción se puede conseguir los objetos
de estudio". En este caso, la muestra utilizada para la investigación consta de 20 citas
bibliográcas seleccionadas de la población de 30 citas.
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CIENCIA E INTERCULTURALIDAD, Volumen 34, Año 17, No. 2, Julio-Diciembre, 2024.
− Evaluación de la calidad de los artículos seleccionados
La calidad de los artículos seleccionados se evaluó utilizando criterios
estandarizados, tales como:
Rigor metodológico: Claridad en la descripción de los métodos utilizados y
adecuación del diseño de investigación.
Validez interna: Grado en el que los resultados del estudio son coherentes y
bien fundamentados.
Relevancia: Pertinencia del estudio para los objetivos de la revisión y su
contribución al campo de estudio.
− Análisis de la variabilidad y validez de los artículos
El análisis de la variabilidad se centró en identicar y comparar los diferentes
enfoques y metodologías utilizados en los estudios seleccionados. Se evaluó la validez de
los artículos considerando la coherencia de los resultados y la solidez de las conclusiones
presentadas. Este análisis permitió identicar tendencias comunes, áreas de consenso
y discrepancias en la literatura existente.
Este enfoque metodológico garantiza que la revisión proporcione una visión
exhaustiva y conable de las aplicaciones de las bases de Gröbner en la resolución de
sistemas de ecuaciones polinomiales, proporcionando así una base sólida para futuras
investigaciones en este campo.
III. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
En esta sección se presentan los hallazgos obtenidos del estudio, enfocándose
en los datos recopilados y analizados. Se discutirá la relación entre las variables y
se interpretaran los resultados evaluando tanto el cumplimiento de las hipótesis
planteadas como las implicaciones de los resultados para el estudio.
Los resultados que se obtuvieron al analizar las 20 investigaciones, divididas en
artículos, tesis y libros, son los siguientes:
Fundamentos y Aplicaciones de las Bases de Gröbner en la Resolución de Ecuaciones Polinomiales
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Volumen 34, Año 17, No. 2, Julio-Diciembre, 2024. CIENCIA E INTERCULTURALIDAD
Tabla 2
Análisis según la categoría más relevante en los artículos
Categorías en las que se dividieron los documentos
Frecuencia Porcentaje
Aprendizaje matemático
Tecnología
1
3
5%
15%
Educación matemática 4 20%
Pensamiento computacional 2 10 %
Algebra 1 5 %
Bases de Groebner 7 35%
Resolución de ecuaciones polinomiales 2 10%
Total   
Las categorías que se han presentado se seleccionaron de acuerdo a la similitud
y la relación que existe entre ellas, esto se denotó por que se logró observar con las
revisiones de las diferentes investigaciones que cada una de ellas poseen conocimientos
que las enlaza entre sí, a pesar de que los porcentajes obtenidos no lo reejan, esto
se debe a la cantidad de investigaciones que se tomaron en cuenta para explicar el
concepto de cada categoría mencionada.
Se puede observar que la mayor información analizada está basada en la categoría de
las bases de Gröbner, esto debido a que es el mayor objetivo de análisis de este artículo,
también se encuentra información sobre la resolución de ecuaciones polinomiales, ya
que es la base para el conocimiento que se pretende transmitir sobre estas herramientas.
Además de contar con información basada en la educación matemática, porque esto
permite ver cómo va uyendo con el paso del tiempo la manera de enseñar matemática,
al igual se presenta información sobre la tecnología, dado que esta forma parte del
crecimiento que va teniendo la educación.
Pueden percibir que el pensamiento computacional, álgebra y aprendizaje
matemático son los porcentajes bajos de la investigación, debido a que la información
encontrada no brindaba los datos necesarios que conrmara su conabilidad para
poder tomarla en cuenta en esta investigación. Por último, se quiere recalcar que
este artículo posee información que corresponde al análisis e interpretación de las
investigaciones relacionadas al tema de estudio, aunque esta no este presentada con
porcentaje.
En esta sección, se presentan las investigaciones a las que se les hizo una revisión
exhaustiva para poder tomarlas en cuenta y facilitar una información clara y precisa en
relación con las bases de Gröbner y temáticas que poseen similitud con esta, al igual
proporcionar a los lectores y futuros investigadores una base comprensible y sobre
todo en habla hispana que les permita empezar a conocer dicha temática.
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CIENCIA E INTERCULTURALIDAD, Volumen 34, Año 17, No. 2, Julio-Diciembre, 2024.
La enseñanza y aprendizaje de la Matemática debe transitar de un método
tradicional, que son procesos mecánicos que utilizan la memoria antes que el desarrollo
del razonamiento lógico y matemático hacia la implementación de metodologías
activas que propicien el desarrollo del pensamiento en toda su dimensión y que le
permitan al estudiante ser protagonista de su propio desarrollo en vínculo con el
contexto. De acuerdo con Intriago Proaño y Naranjo Flores (2023) el aprendizaje de
los estudiantes ha sido motivo de diversas investigaciones, en cuanto a la matemática
se ha observado una falta de motivación en los estudiantes debido a las estrategias
y modelos de enseñanza tradicional de los docentes, por ende, para la enseñanza
de las matemáticas es necesario cambiar métodos típicos, para mejorar el interés y
la participación activa en las actividades académicas, implementando estrategias
creativas para salir de lo rutinario en el área de las matemáticas.
De acuerdo con Merino Barona (2023), el rol de las matemáticas tiene un impacto
en el desarrollo cognitivo, la integración de la tecnología y la formación en la educación,
estos elementos contribuyen al aprendizaje matemático y al desarrollo general de los
estudiantes en las primeras etapas educativas. Destacando la importancia de métodos
de enseñanza innovadores que fomenten el desarrollo del pensamiento computacional,
lo que con lleva a una formación docente continua y adaptada a los desafíos actuales.
Conforme a Gómez (1997), el impacto de la tecnología en la educación se estudia desde
varias perspectivas, teniendo en cuenta los resultados didácticos que se obtienen
gracias a la aparición de la computación. Aunque la tecnología, no es la solución a los
problemas de la enseñanza y del aprendizaje de las matemáticas, existen indicios de
que ella se convertirá paulatinamente en un agente catalizador del proceso de cambio
en la educación matemática.
De acuerdo con Infante et al. (2010), la educación matemática, entendida como
la comunicación de experiencias, saberes, habilidades, destrezas, actitudes y valores
propios de la actividad matemática, tiene la obligación de formar seres humanos
competentes en su campo y con una mejor comprensión del mundo, no puede ni
debe soslayar la incorporación del uso de las tecnologías en su quehacer. Según
Motoa (2019), el desarrollo del pensamiento computacional, potencia competencias
y habilidades en los estudiantes, favoreciendo al desarrollo del pensamiento crítico,
ingenioso e innovador del estudiante para la resolución de problemas, desarrollando
así un ciudadano competente para asumir los retos tecnológicos de la sociedad actual.
También, Magreñán Ruiz et al. (2024) hablan de que se ha vuelto una prioridad
educativa promover el desarrollo computacional en varios países del mundo con el
incremento del uso de las tecnologías en la actualidad, utilizando programas para
hacer cálculos matemáticos y de esta manera realizar nuevas estrategias pedagógicas
basadas en la actualidad que se está viviendo.
Fundamentos y Aplicaciones de las Bases de Gröbner en la Resolución de Ecuaciones Polinomiales
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Volumen 34, Año 17, No. 2, Julio-Diciembre, 2024. CIENCIA E INTERCULTURALIDAD
Como plantean Zapata et al. (2021) que hay numerosos destrezas y conceptos
propios de pensamiento computacional, que son necesarios como base para los
estudios, estos conceptos y procedimientos no constan de forma explícita por eso es
necesaria una base cognitiva que sea de gran utilidad y sirva como pilar para empezar
en este sistema algebraico.
Según Dayal (2015), la ingeniería en sistemas computacionales es un modo de
enfoque interdisciplinario que permite estudiar y comprender de manera más fácil
la calculación de ejercicios. Teniendo como propósito el implementar u optimizar
sistemas informáticos complejos que sirvan para hacer los cálculos.
De acuerdo con Navas López (2024), el pensamiento algorítmico es una parte
fundamental del pensamiento computacional, pero también es un tipo de pensamiento
matemático, la habilidad de algoritmizar es básica en la matemática y por tanto en el
pensamiento algorítmico y computacional brindando exploración y descubrimiento
en la matemática.
El algebra computacional se dedica a la manipulación y resolución de problemas
algebraicos mediante algoritmos y ordenadores. De acuerdo con Mondurrey Ortín (2019)
y González Casero (2024) las bases de Groebner, hacen parte de la rama matemática
conocida como Geometría Algebraica Computacional. Gracias a sus caracteres
algorítmicos permiten abordar de manera computacional diversas aplicaciones en
múltiples áreas de conocimientos, están ligadas a un alto manejo computacional.
Según Bose (1995), el método de las bases de Gröbner es una técnica que proporciona
soluciones algorítmicas a una variedad de tales problemas, por ejemplo, soluciones
exactas de F vistas como un sistema de ecuaciones algebraicas, solución polinomial
de la ecuación entre otras.
En este apartado según Buchberger y Kauers (2010), el objetivo principal de las
bases de Groebner es servir a la exploración de la teoría matemática y, en particular, al
razonamiento automatizado. También las describen como un conjunto de polinomios
no lineales que disfrutan de ciertas propiedades que permiten soluciones algorítmicas
simples para muchos problemas fundamentales en matemáticas y dan como ejemplo
de tales problemas: la solución de sistemas algebraicos de ecuaciones, al igual que
otros problemas relacionados con el algebra.
Collazo et al. (2015) plantean que uno de los problemas más importantes en
las matemáticas es determinar si un sistema de ecuaciones polinomiales tiene o
no soluciones. Es necesario buscar condiciones sucientes para garantizar que el
sistema tenga solución, ya que este es un problema presente en prácticamente todas
las ramas de la ciencia e incluso en muchas situaciones de la vida cotidiana. Por ello,
se hace necesario el estudio de algoritmos que permitan saber si un sistema tiene o
no soluciones. En caso de tenerlas, es necesario determinar si son un número nito
EDUCACIÓN
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CIENCIA E INTERCULTURALIDAD, Volumen 34, Año 17, No. 2, Julio-Diciembre, 2024.
o si existe un número innito de ellas, y ser capaces de describir estas soluciones de
forma explícita. Por lo tanto, es crucial desarrollar algoritmos que ayuden a responder
estas preguntas.
La computación mediante las bases de Gröbner es una de las principales
herramientas para resolver sistemas de ecuaciones polinomiales, ya que las bases de
Gröbner se estudian en asignaturas de Ecuaciones Algebraicas y de Álgebra Conmutativa
y Computacional.
El tema ha recobrado importancia con el surgimiento de la computación, que
en particular ha introducido la necesidad del estudio de los aspectos algorítmicos de
distintos problemas en esta área. Los sistemas polinomiales son una pieza importante
dentro de la organización de problemas reales. El estudio y cálculo de sus soluciones
exactas constituyen todo un campo de trabajo con aplicaciones directas en la economía,
la ingeniería, informática, telecomunicaciones. Estos problemas se estudian dentro
de diversas ramas de las matemáticas.
Se presenta un ejemplo donde se utilizarán las bases de Gröbner en la solución
de un sistema de ecuaciones.
Considerar las siguientes ecuaciones
x+ y+z=  (1)
x+z= y (2)
x = z (3)
En c
3
, eEstas ecuaciones determinan I =(x+ y+ z-  , x+ z- y , x-z) ⊆C[x, y,
z], , y se quiere encontrar todos los puntos en V (I). La pPreposición 2 implica que
podemos escribir que se puede escribir V (I) usando cualquier base de I. Así se observa
que ocurre cuando se usan las bases de Gröbner. Aunque aún no hay necesidad de
hacerlo por el momento, escribiremos una base reducida de Gröbner de I con el orden
Lex respectivo. La base es:
g
1
= x – z, (4)
g
2
= y - 2 z
2
,
(5)
g
3
= + z
2
- 1/4.
(6)
Se observa detenidamente los polinomios, se podrá encontrar algo destacable.
Primero, el polinomio g
3
depende solamente de z. Para encontrar las raíces, se resuelve
Fundamentos y Aplicaciones de las Bases de Gröbner en la Resolución de Ecuaciones Polinomiales
71
Volumen 34, Año 17, No. 2, Julio-Diciembre, 2024. CIENCIA E INTERCULTURALIDAD
para z
por la formula cuadrática y obtener las raíces cuadradas. Esto da cuatro valores
para z:
Z = (7)
Después, cuando los valores de z son reemplazados en las ecuaciones g
=  y g
=
, esas dos ecuaciones pueden ser resueltas únicamente para y y x respectivamente.
Así, hay cuatro soluciones en conjunto para g
1
= g
2
= g
3
= , dos reales y dos complejas.
Dado que V (I) =V ( g
1
, g
2
, g
3
) , por la preposición 2, ya se ha encontrado todas las
soluciones de las ecuaciones.
En particular, se ha visto que obtener ecuaciones donde las variables son eliminadas
sucesivamente. Además, notar que el orden de eliminación parece ser que corresponde
al orden de las variables. Un sistema de ecuaciones de esta forma es fácil de resolver,
especialmente cuando la última ecuación contiene solo una variable. Se puede aplicar
técnicas de una variable única para probar y encontrar las raíces, luego sustituir para
resolver las otras variables.
IV. CONCLUSIONES
Según los resultados encontrados, se concluye que:
•
Subestimación y falta de Investigación: A pesar de su importancia, las bases de
Gröbner están relativamente subestimadas y poco investigadas, especialmente
en el contexto hispanohablante. La mayoría de los estudios se centran en
otros idiomas, lo que limita su accesibilidad y comprensión en el mundo de
habla hispana.
•
Desafíos en la Búsqueda de Información: Existe una dicultad signicativa para
encontrar información relevante sobre las bases de Gröbner en los buscadores
académicos, lo que diculta que los investigadores y educadores profundicen
en el tema y apliquen estos conceptos en la práctica.
•
Aplicaciones Educativas: Las bases de Gröbner tienen un gran potencial en la
educación matemática, ya que pueden facilitar el aprendizaje y la enseñanza
del álgebra y la geometría. Integrar estos conceptos en el currículo educativo,
utilizando herramientas computacionales, podría mejorar la comprensión de
los estudiantes y fomentar el pensamiento computacional.
•
Contribución del Estudio: Este artículo ha recopilado y sintetizado
la información disponible sobre las bases de Gröbner y su aplicación en
sistemas de ecuaciones polinomiales. Proporciona una base sólida para futuras
EDUCACIÓN
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CIENCIA E INTERCULTURALIDAD, Volumen 34, Año 17, No. 2, Julio-Diciembre, 2024.
investigaciones en español y destaca la necesidad de ampliar el conocimiento
y los recursos disponibles en este campo.
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